Dua garis

Penentuan titik persilangan dua garis tak selari:

a 1 x + b 1 y = c 1 ,   a 2 x + b 2 y = c 2 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}

boleh diperolehi dengan peraturan Cramer atau dengan menggantikan satu pemboleh ubah, dengan koordinat titik persilangan ( x s , y s ) {\displaystyle (x_{s},y_{s})} ialah:

x s = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 , y s = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 .   {\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }

(Jika a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0 {\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0} garisan-garisan adalah selari, dan formula tidak dapat dipakai kerana akan melibatkan pembahagian dengan sifar.)

Dua segmen garis

Persilangan dua segmen garisan.

Bagi dua segmen garis tak selari, ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} and ( x 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})} , persilangan tidak semestinya ada (lihat rajah) kerana titik persilangan ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} bagi garis tidak terkandung dalam segmen. Untuk menilai sama ada itu berlaku, perwakilan parameter di bawah boleh digunakan:

( x ( s ) , y ( s ) ) = ( x 1 + s ( x 2 − x 1 ) , y 1 + s ( y 2 − y 1 ) ) , {\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),} ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( x 3 + t ( x 4 − x 3 ) , y 3 + t ( y 4 − y 3 ) ) . {\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}

Segmen garis bersilang hanya pada titik ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} sekiranya parameter s 0 , t 0 {\displaystyle s_{0},t_{0}} memenuhi syarat 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1} .

Parameter s 0 , t 0 {\displaystyle s_{0},t_{0}} ialah penyelesaian bagi sistem linear

s ( x 2 − x 1 ) − t ( x 4 − x 3 ) = x 3 − x 1 , {\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},} s ( y 2 − y 1 ) − t ( y 4 − y 3 ) = y 3 − y 1   . {\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}

Ini boleh diselesaikan bagi s serta t dengan peraturan Cramer. Sekiranya keadaan 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1} dipenuhi, s 0 {\displaystyle s_{0}} atau t 0 {\displaystyle t_{0}} boleh dimasukkan dalam perwakilan parameter dan titik persilangan, ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} dapat dicari.

Contoh: Bagi segmen garis ( 1 , 1 ) , ( 3 , 2 ) {\displaystyle (1,1),(3,2)} dan ( 1 , 4 ) , ( 2 , − 1 ) {\displaystyle (1,4),(2,-1)} , sistem linear diperoleh seperti di bawah,

2 s − t = 0 {\displaystyle 2s-t=0} s + 5 t = 3 {\displaystyle s+5t=3}

dan s 0 = 3 11 , t 0 = 6 11 {\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}} . Maka, titik persilangan ialah ( 17 11 , 14 11 ) {\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})} .

Tambahan: Dengan garis, berbanding segmen, ditentukan sebagai pasangan titik, setiap keadaan 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1} boleh diabaikan dan kaedah digunakan akan memberi titik persilangan.